原码、补码、反码的表示及计算

一个数在计算机中的二进制表示形式我们称之为 机器数 或者 机器码 ，机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，例如我们下面要讲到的补码、反码。

因为机器数有可能带有符号位，所以我们通常使用 真值 来表示一个机器数所代表的真正值。例如， +4 、 -5 这样的数就是真值的十进制表示。

原码

原码就是在真值的基础上，在真值前面添加一位符号位，非符号位为该数绝对值的二进制表示。一般情况下，对于 正数 的真值，符号位为 0 ；对于 负数 的真值，符号位为 1 。

例如：

真值 $x = +1010$ ，$[x]{原} = 01010$ 。

真值 $y = -1010$ ，$[y]{原} = 11010$ 。

特别的，对于数字 0 来说，原码有两种表示方式：

$[+0]{原} = 0 \; 000 \cdots 0$

$[-0]{原} = 1 \; 000 \cdots 0$

下面给出原码表示的定义：

$$[x]_{原} = \left\{ \begin{aligned} x , 2^{n} \gt x \geqslant 0 \\ 2^{n} - x = 2^{n} + |x| , 0 \geqslant x \gt -2^{n} \end{aligned} \right.$$

对于一个除了符号位之外有 n 位的二进制数，原码的表示范围为 $-(2^{n} - 1)$ 到 $+(2^{n} - 1)$ 。

反码

对于 正数 来说，反码与原码一致；对于 负数 来说，反码是最高位即符号位不变，再对其余位按位取反。

例如：

真值 $x = +1010$ ，$[x]{原} = 01010$ ，$[x]{反} = 01010$ 。

真值 $y = -1010$ ，$[y]{原} = 11010$ ，$[y]{反} = 10101$。

对于一个除了符号位之外有 n 位的二进制数，反码的表示范围为 $-(2^{n} - 1)$ 到 $+(2^{n} - 1)$ 。

补码

对于 正数 来说，补码与原码一致；对于 负数 来说，补码是该数的反码再加上 1 。

例如：

真值 $x = +1010$ ，$[x]{原} = 01010$ ，$[x]{反} = 01010$ ，$[x]{补} = 01010$ 。

真值 $y = -1010$ ，$[y]{原} = 11010$ ，$[y]{反} = 10101$ ，$[y]{补} = 10110$。

下面给出补码表示的定义：

$$[x]_{补} = \left\{ \begin{aligned} x , 2^{n} \gt x \geqslant 0 \\ 2^{n+1} + x = 2^{n+1} - |x| , 0 \geqslant x \geqslant -2^{n} \end{aligned} \right.$$

对于一个除了符号位之外有 n 位的二进制数，补码的表示范围为 $-2^{n}$ 到 $+(2^{n} - 1)$ 。

求补码、反码、移码口诀

原补反，正三同。负符定，余取反，得反码，加一补。补符反，得移码。

解释：

• 原码、补码、反码，该数为正数的情况下，它们三者相同。

• 该数为负数的情况下，符号位不改变，其余位取反，就得到了反码。将该反码加一得到的就是该数的补码。

• 不管正数负数，将其补码的符号位取反，其余位不变，得到的就是该数的移码。

下面是一些求补码、反码、移码的例子。

真值 (十进制表示)	真值 (二进制表示)	对应的原码	对应的反码	对应的补码	对应的移码
-1	- 0000 0001	1000 0001	1111 1110	1111 1111	0111 1111
0	0000 0000	1000 0000 0000 0000	1111 1111 0000 0000	0000 0000	1000 0000
1	+ 0000 0001	0000 0001	0000 0001	0000 0001	1000 0001